マグニチュードが0.2増えるとどうなる？

以前、数学系のネタも書いていたので、たまにこっちに「移転」してみます。

ほぼ2年前の大地震(2011/3/11)の際、はじめは「マグニチュード8.8」と発表されましたが、その後「マグニチュード9.0」修正されました。報道では、
マグニチュードは0.2だけ増えましたが、地震のエネルギーは2倍になりました。
という表現が使われていました。

どう計算すれば、「マグニチュード0.2の差異が（地震の）エネルギーとして2倍異なるのか」について解説します。

Wikipediaによれｂ，あ地震のエネルギー$E$とマグニチュード$M$の間には、

$\log_{10}E=4.8+1.5M$

の関係が成立していると言われます。それで、

1. マグニチュード8.8の時のエネルギーが$E_1$
2. マグニチュード9.0の時のエネルギーが$E_2$

としてみましょう。考えるべきは、$E_1$と$E_2$の関係式ですね♪

さて、先ほどの式より

$\log_{10}E_1=4.8+1.5 \times 8.8$
$\log_{10}E_2=4.8+1.5 \times 9.0$

が成立します。それぞれを引き算すれば、

$\log_{10}E_2-\log_{10}E_1=1.5 \times 0.2$

が成立します。対数の公式

$\log_a N_1-\log_a N_2=\log_a \frac{N_1}{N_2}, a\neq 1, N_1, N_2>0$

を思い出せば、左辺$=\log_{10}\frac{E_2}{E_1}$

よって、上の式は

$\log_{10}\frac{E_2}{E_1}=0.3$

となります。対数の定義より

$\frac{E_2}{E_1}=10^{0.3}=\simeq 1.995$

つまり

$E_2 \simeq 1.995 E_1$

です。マグニチュードが8.8から9.0になった時、地震のエネルギーは1.995倍(≒2倍)となることが分かりました。

地震の「エネルギー」はジュールで測られます。「ジュール」がよくイメージできない場合は、取り敢えずカロリーでもいいです。ダイエットなどでよく

1日の摂取カロリーがxxoo、、、

と言われますよね。あれと一緒です！