2013年4月22日

√2が無理数であることの証明

四の五の言わずに証明してみよう♪
(証明)
$\sqrt{2}$が無理数でない、と仮定します。(背理法の仮定)
つまり有理数であると仮定しますので、
$\sqrt{2}=\frac{m}{n}, m, n\in \mathbb{Z}$
と表せるはずです。ここで、分数部分について互いに素(=共通因数を持たない)です。

定義から、
$2=\frac{m^2}{n^2}$より$2*n^2=m^2$です。

よって、$m$は2の倍数ですから$m=2p, p\in \mathbb{Z}$と書けるはず。
これを上の式に代入すると
$2*n^2=(2p)^2=4p^2$
両辺を$2$で割って
$n^2=2p^2$
これは、$n$が2で割れることを意味します。

ここで、$m, n$は共通因数を持たないはずでしたが結局$2$を共通因数を持つので矛盾。

これは背理法の仮定が間違っていたことを意味しますので、
$\sqrt{2}$が無理数であることが証明出来ました。

Q.E.D.